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快速推导出等比数列的求和公式

n进制数的魅力之一——来自计算机组成原理的启发

前言

等比数列的求和公式，我到现在仍记忆不清，可能这也是大多数人的痛处，我想数学就想语文或者英语这类语言一样，一旦要用到比较专业或者新颖的成语，大脑就短路了，对于那些想要克服这类困难的人，我想，这篇博客或许对你有一定的帮助。这是博主的第一篇博客，奈何水平有限，如有问题，还望海涵……

等比数列的求和数列展开形式 通项列如a_n=2ⁿ

那么该通项的等比数列的前n项和公式可以表示为S_n=2¹+2²+2³+2⁴+……+2ⁿ对吧

由此，你只需要知道这个公式进行这样展开表示即可

n进制数举例 假设要求得的上述等比前4项和

用2进制数进行表示 即为1111₂=2¹+2²+2³+2⁴ ,看到这里，大家是否已灵光一现，且听我娓娓道来……

上述的2进制数，如果+1,即变为10000₂=2⁵,那么上述的等比数列结果即为2⁵-1=32-1=31,假如将上面的4项和变为n项和，那么最终的等比数列结果，是否也变为了S_n=2ⁿ⁺¹-1 这就简单的推导出了上述以a_n=2ⁿ为通项的等比数列前n项和

其他n进制数举例 为了让大家更清楚，本次的通项设为a_n=4ⁿ

那么现在怎么弄呢？换用4进制数来表示，假设也先为前四项和,即为3333₄=3*(4¹+4²+4³+4⁴),到了这里，我相信大家无非都想自己去试一试了，而不会继续饶有兴致的看下去，我也觉得大家都是非常聪明的，很快便能推导出来，当然，我插入这么多题外话，大家不要觉得烦哈，写篇博客还是不容易，且忍博主唠叨几句

回归正题，上述结果+1，变为了10000₄=4⁵,那么4¹+4²+4³+4⁴=(4⁵-1)/3,那么，同样的操作

33333……（n)₄假如有n个3,那么最终的等比数列结果是否就是(4ⁿ⁺¹-1)/3

小小总结

通项为a_n=2ⁿ 用2进制,通项为a_n=4ⁿ,用4进制,个人觉得，是可以无限进制来推导等比数列的前n项和的，然而，10进制以上我觉得便已不太适用了，此时大家仍然可以通过分解因数来用这个方法

结语

其实数学的很多东西，是要每个人的点滴感悟才能真正悟透，你数学学得好不好，冰冷的分数无法为你证明，我身边也有很多这样的例子，平时跟别人讲很多高数的题，讲得也非常清晰，考试就是考不高，这有什么办法，那个时间段你想不起来，就是想不起来……，时间一过，game over……

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我呢，是一名大三学生，目前主要探索大数据开发方向，也接触了hadoop,spark,hive等一些大数据的开发工具，以后会陆陆续续的上传有关大数据方面的一些博文，在此宣传一波自己的联系方式，QQ+微信:928689419,加我验证大数据即可

彩蛋

上述我推导的这些都是等比q>1的情况，加入q<1的情况列如a_n=(1/4)ⁿ,该怎么样求呢？

欢迎大家留言评论，给出自己的解决办法，我在此没有给出证明，但是我相信在座的朋友们一定可以做出来的。

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